De limiet naar oneindigꜛ

De voor ons geldende logica, wiskunde, enzovoort wordt bewaakt door de onmogelijkheid voorbij het eindige te komen. Een oneindig lang rekenende computer zou niet beperkt worden door het stopprobleem (halting problem), maar wij kunnen nooit het resultaat zien. Die computer te laten krimpen (en daarmee sneller te laten werken — zie de relativiteitstheorie) helpt ook niet, want oneindig wordt dan pas bereikt als de computer de grootte 0 heeft, en dus kunnen wij het antwoord niet kennen. Stel dat het uitdijend heelal als geheel een geest had, dan zou het ons als krimpende en versnellende wezens zien. Bij de juiste uitdijfactor zou onze oneindigheid voor het heelal eindig zijn — maar daarmee zou het nog niet weten wat er „in het oneindige” met ons gebeurt, want wij zouden in die voor het heelal eindige tijd oneindig klein worden.

Dit punt vormt de verbinding tussen (de onberekenbaarheid uit de) informatietheorie en dekpuntstheorie, en is theologisch de grens tussen onze eindigheid en Gods oneindigheid.

Kurt Friedrich Gödelꜛ toonde aan dat de beperkingen van de logica zich uitstrekken tot de gehele wiskunde. Luitzen Egbertus Jan Brouwersꜛ intuïtionismeꜛ is een poging alle illegitieme sprongen naar het oneindige te voorkomen, en is daarom ook niet behept met de paradoxen van de Bertrand Russellseꜛ logica en wiskunde.

Het stopprobleem is een beperking in het voorspellen. Een vergelijkbare beperking treedt op in de natuurkunde, met Werner Heisenbergsꜛ onzekerheidsrelatie: informatie onder een bepaald niveau kan niet gekend worden, maar kan wel daarboven treden en de toekomst mede bepalen. Deze beperkingen hebben daarom direct betrekking op de aard van de tijd.

Wellicht heeft bewustzijnskennis ook een beperking, in het niet kennen van andere geesten, en in het feit dat instrospectie slechts een introspiciërende persoon kan doen kennen. We zouden verwachten dat ethiek geen realistische beperking kent, omdat ethisch handelen voor ons een goddelijke opdracht is. (Natuurlijk kunnen logische paradoxen „vertaald” worden naar ieder domein, ook het zedelijke, maar daarmee blijven het toch logische paradoxen.)

Op de grens van het onberekenbare vinden we de chaos.

Ons weten dat er eindeloze reeksen zijn is onverklaarbaar. Giuseppe Peano'sꜛ opvolgers­axiomaꜛ stelt dat ieder getal een opvolger heeft: ∀x ∃y x⊰y (waarbij ⊰ de voorgangersrelatie aangeeft: x is de voorganger van y).

Er zou net zo goed een axioma kunnen zijn dat de idee dat ieder element een opvolger heeft dat niet ook een voorganger is zelfstrijdig maakt — een „eindigheids­axioma”ꜛ. Bijvoorbeeld: ∀x ∃y x⊰y → ∃x x⊰⁺x, met ⊰⁺ de transitieve maar niet reflexieve afsluitingꜛ van ⊰.

Het is dat opvolgersaxioma dat Gödels onvolledigheid introduceert. Axiomatiseringen zonder dat axioma kunnen compleet en tegenspraaksloos zijn.

Gödels stellingꜛ geeft een fraai voorbeeld, waarbij voor alle x bewezen kan worden dat P(x), maar ∀x: P(x) bewijsbaar niet bewezen kan worden. Als we de Peano-­axiomataꜛ zó aanpassen dat er een grootste getal is kan het systeem wel consequent zijn. Het is onze, voor ons eindige wezens onverklaarbare, intuïtie dat er iets oneindigs is (in dit geval: de verzameling natuurlijke getallen) die de problemen veroorzaakt — en het is die intuïtie die René Descartesꜛ tot één van zijn godsbewijzen bracht.

((Te doen.))

Beter uitwerken: wij leven in een eindige wereld, maar hebben toegang tot de taal van het oneindige — zowel het potentieel als het actueel oneindige. Dit vergt verklaring: heeft evolutie ons die stap doen maken?