Dekpuntstheorie

Wij kennen het woord afbeelding vooral in de betekenis van een plaatje, maar feitelijk is een afbeelding alles wat punt voor punt overeenkomt met een origineel. Een foto is een afbeelding in gekleurde punten op fotopapier van (een bepaald perspectief op) de werkelijkheid, maar evenzeer is „moeder van” een afbeelding van personen op hun moeders. Net zoals we kunnen zeggen „de foto van dat blaadje daar is dit groene vlekje op het fotopapier” kunnen we zeggen „de moeder van Jan is Marie”.

Een dekpunt is een punt dat op zichzelf wordt afgebeeld. Neem de afbeelding „werkgever van”: de werkgever van Marie is wellicht Anna, maar Wim is eigen baas, en dus zijn eigen werkgever. De werkgever van Wim is Wim zelf, en daarmee is Wim een dekpunt van de afbeelding „werkgever van”.

Of beschouw een draaitafel, bijvoorbeeld van een pottenbakker of voor grammofoonplaten. Als we die een klein stukje draaien, komt ieder punt op een andere plaats terecht, alleen het middelpunt is een dekpunt: dat komt precies op zichzelf terecht (en dat is een ingewikkelde manier om te zeggen dat het op zijn plaats blijft).

Een bekend raadseltje is het volgende: een jager verliet zijn hut en liep tien kilometer recht naar het zuiden. Daar ontdekte hij het spoor van een beer, en volgde dat spoor tien kilometer pal naar het oosten. Daar schoot en vilde hij de beer, waarna hij met de vacht weer tien kilometer zuiver noordwaards terug naar huis liep. Daar aangekomen bekeek hij de vacht goed. Welke kleur had de vacht?

Het antwoord is „wit”, want bijna nergens kan iemand door achtereenvolgens tien kilometer zuidwaarts, oostwaarts en noordwaarts te lopen op het uitgangspunt terugkomen. De noordpool is een dekpunt onder zo'n wandeling: daar kan dat wel. Het is echter niet het enige dekpunt; er zijn andere plaatsen op aarde waar dit geldt (daar zijn echter geen beren, dus als oplossing voor het raadsel voldoen ze niet). Wie zo'n elf en een halve kilometer van de zuidpool vandaan begint, en tien kilometer zuidwaarts loopt, komt op ruwweg anderhalve kilometer van de zuidpool terecht. Tien kilometer oostwaarts betekent daar precies een compleet rondje rond de zuidpool, en vervolgens brengt een wandeling van tien kilometer noordwaarts ons weer op ons uitgangspunt terug. Er zijn nog meer dekpunten. Kunt u ze verzinnen?

Onder de aardrotatie zijn de twee polen dekpunten, want die blijven op hun plaats, terwijl alle andere punten bewegen.

Het blijkt dat zeer eenvoudige dekpunten de oorzaak kunnen zijn van een verbijsterende complexiteit en schoonheid.