Bellsꜛ ongelijkheden

De essentie van Bells ontdekking kan als volgt worden weergegeven: stel dat ik een groot aantal pillendoosjes heb, ieder met twee helften, en iedere helft heeft weer drie compartimentjes die ik met rood, wit en blauw zal aanduiden. In zo'n compartimentje past precies één pil, en voor het gemak van spreken zal ik „rode pil” gebruiken als afkorting van „pil in het rode compartiment”. De doosjes hebben een bijzondere eigenschap: van iedere helft kan maar (naar keuze) één vakje geopend worden; door die handeling vergrendelen de andere twee vakjes voorgoed. We kunnen dus hooguit twee vakjes openen, aan elke kant één.

Nu blijkt het volgende.

Wie twee vakjes van dezelfde kleur opent vindt altijd precies één pil. Blijkbaar bevat ieder doosje precies één pil van iedere kleur.

Nu openen we een rood en een wit vakje. Als de pillen willekeurig over beide helften verdeeld zouden zijn, zouden de combinaties niets-niets, niets-pil, pil-niets en pil-pil even vaak optreden. Als de rode en de witte pil steeds in dezelfde helft zouden zitten, zouden we de helft van de tijd niets-pil, en de andere helft pil-niets vinden. Omgekeerd, als de twee pillen steeds in verschillende helften zouden zitten, zouden we half niets-niets en half pil-pil vinden.

Nu blijken we vijf van de zes keer precies één pil te vinden. Blijkbaar zitten de pillen vijf van de zes keer in dezelfde helft, en één op de zes keer in verschillende helften. En met rode en blauwe vakjes vinden we dezelfde verdeling, met dezelfde conclusie. Wat volgt hieruit omtrent de resultaten van een wit-blauw-inspectie?

• Het ene extreem zou zijn dat de witte en blauwe pillen altijd samen zijn: vijf van de zes keer samen met de rode, en één op de zes keer in de andere helft van het doosje. In dat geval zou je bij een wit-blauw-ispectie altijd precies één pil vinden.
• Het andere extreem is dat wit en blauw nooit beide aan de andere kant zijn: als wit niet bij rood is is blauw dat wel (één op de zes keer); als blauw niet bij rood is is wit dat wel (ook één op de zes keer); en de overige twee derde van de gevallen zijn ze samen met elkaar en met rood. In dat geval zou je bij een wit-blauw-ispectie één op de zes keer geen pillen vinden, één op de zes keer twee pillen, en in de overige twee derde van de gevallen precies één pil.
• Er zijn ook nog tussenvormen mogelijk, waarbij wit en blauw tussen de twee en drie van de drie keer samen zijn (zodat je één pil vindt). Minder dan tweederde van de gevallen één pil vinden is echter niet mogelijk.

Maar als je het probeert vind je maar de helft van de keren precies één pil!

De gevolgtrekking in de standaardinterpretatie is dat die pillen blijkbaar niet al van te voren in een bepaald vakje zitten: pas nadat we één vakje geopend hebben kiezen de niet-ontdekte pillen hun plaats.

((Herschrijven naar pillen voor ontbijt, middageten en avondeten, met helften „vóór het maal” en „na het maal”.

Toevoegen: de ongelijkheden van Legget-Gargꜛ.))