Oneindigheidꜛ

Het oneindige is een begrip dat we enkel als limiet kunnen bevatten. In onze theorieën duiken oneindigheden overal op, maar of ze in de wereld ook werkelijk voorkomen is onzeker. Een wiskundige lijn bevat oneindig veel punten, maar een werkelijke draad maar eindig veel atomen, en of de ruimte uit oneindig veel punten bestaat weten we niet.

Niet alle theoretische oneindigheden zijn gelijk — sommige oneindigheden zijn groter dan andere. Gelijke grootteꜛ valt aan te tonen door paarbaarheidꜛ: de elementen op zó'n manier twee aan twee koppelen dat ieder paar bestaat uit een element uit de ene en een element uit de andere verzameling, en er aan geen van beide kanten elementen overblijven. De verzameling meisjes in een klas is even groot als de verzameling jongens als je paartjes kunt vormen van steeds een meisje en een jongen, en er dan aan het eind geen jongen of meisje overblijft.

Bij oneindige verzamelingen lijdt dit soms tot op het eerste oog vreemde resultaten. De verzameling van natuurlijke getallen (1, 2, 3, 4, ‥) is even groot als de verzameling van kwadraten (1, 4, 9, 16, ‥), want je kunt paren vormen door ieder natuurlijk getal aan zijn kwadraat te koppelen, en dan blijft er geen natuurlijk getal over, en ook geen kwadraat. Natuurlijk kun je ook anders koppelen, zodat er wel natuurlijke getallen overblijven: koppel gewoon het kwadraat 1 aan het natuurlijke getal 1, het kwadraat 4 aan het natuurlijke getal 4, het kwadraat 9 aan het natuurlijke getal 9, en zo voort, en alle natuurlijke getallen die geen kwadraten zijn blijven over — maar evenzo kun je de kwadraten zó aan de natuurlijke getallen koppelen dat er kwadraten overblijven!

((Te doen.))

Oneindigheid kan niet uit eindigheid afgeleid worden. Men moet beginnen met iets dat al oneindig is, zoals een proces van toevoegen. Het stempelargument van Descartes maakt daar gebruik van.