Telbare oneindigheidꜛ

Het is gemakkelijk zich te vergissen bij het redeneren over oneindigheden; op één van de eilanden in de archipel ligt het plaatsje Zermeloꜛꜛ, bekend om het Hilbert­hotelꜛꜛ aldaar, met zijn letterlijk eindeloze gang met eenpersoonskamers, genummerd 1, 2, 3, 4, ‥ en zo voort. Het hotel heeft een contract met busmaatschappij Fränkelꜛ, die bussen met oneindig veel stoelen exploiteert. Die stoelen zijn op dezelfde wijze genummerd als de hotelkamers.

Van sommige oneindige verzamelingenꜛ is ieder element te bereiken door aftellen — de natuurlijke getallen bijvoorbeeld. Zulke verzamelingen zijn van een telbare of aftelbare oneindigheidꜛ.

De nieuwe receptionist van het Hilberthotel moest nog veel leren. Zo had hij in eerste instantie gedacht dat het hotel nooit vol kon raken, maar toen er een volle Fränkel­busꜛ verscheen had hij dat idee moeten opgeven. Gelukkig was het hotel net leeg, dus hij had eenvoudigweg elke toerist de kamer toegewezen waarvan het nummer overeenkwam met het stoelnummer, en had nu geen enkele lege kamer meer. Toen er vervolgens nog een eenzame toerist langskwam meende hij dan ook neen te moeten verkopen.

Op dat moment greep de bedrijfsleider echter in: „Wij verkopen geen neen! Laat iedere toerist maar een kamer opschuiven, dan komt kamer 1 vanzelf vrij voor deze mevrouw.” Zo gezegd, zo gedaan, en de rust keerde weer in het volle hotel. Toen er even later een groepje van zes toeristen onderdak zocht begreep de receptionist de procedure: iedere gast schoof zes kamers op, en daarmee kwamen de eerste zes kamers vrij. Maar toen er nog een bus met oneindig veel toeristen aankwam zat hij weer met de handen in het haar, en moest de bedrijfsleider weer ingrijpen: „Iedere hotelgast neemt zijn kamernummer, verdubbelt dat, telt er dan nog één bij op, en verhuist naar de kamer met het zo verkregen nummer. Iedere nieuwkomer neemt de kamer waarvan het nummer gelijk is aan het dubbele van zijn stoelnummer.” En inderdaad, even later had iedereen een eigen kamer. De bedrijfsleider leek gelijk te hebben: het Hilberthotel zou nooit neen behoeven te verkopen.

Nu had het hotel ook een parkeerplaats, met eveneens oneindig veel genummerde plaatsen, en op een dag zag de receptionist tot zijn schrik dat de gehele parkeerplaats vol stond met Fränkelbussen, alle geheel gevuld met reizigers die een onderkomen in het Hilberthotel zochten. Wat nu te doen? Iedere reiziger had een parkeerplaatsnummer en een busplaatsnummer; van die twee zou een hotelkamernummer gemaakt moeten worden zó dat geen twee reizigers dezelfde kamer deelden. Het lukte de receptionist.