Formalisering

Dit deel kan zonder bezwaar worden overgeslagen door mensen met wiskunde-angst.

De begrippen die we in de voorgaande pagina's hebben ingevoerd kunnen we ook wiskundig beschrijven. In de wiskunde heet een afbeelding waarbij ieder origineel op ten hoogste één beeldpunt wordt afgebeeld een functieꜛ. We beperken ons hier even tot functies op getallen.

Stel dat de functie, de afbeelding, kwadrateren is, dat is: vermenigvuldigen met zichzelf. Zo is 49 het kwadraat van 7. Bij de functie „kwadraat van” zijn 0 en 1 dekpunten: 0 in het kwadraat is weer 0, en 1 gekwadrateerd blijft 1. Het getal 3 is geen dekpunt, want het kwadraat van 3 is 9, en geen 3.

Het punt 0 van de kwadraatsfunctie is een dalꜛ: neem een getal in de buurt van 0, en het kwadraat ervan zal dichter bij 0 liggen. Het getal 1 is juist een piekꜛ, want het kwadraat van een getal in de buurt van 1 zal verder van 1 af liggen. Dalen zijn daarom vaak te vinden door een willekeurig punt te nemen en steeds de functie te herhalen, maar pieken niet.

Maar dalen en pieken vormen niet het hele plaatje. Zo zijn er ook vlaktenꜛ (ieder punt van de functie f(x) = x is een vlak dekpunt). Soms vinden we een richelꜛ, een punt dat vanaf de ene kant benaderd een piek is, maar vanaf de andere kant een dal. Voor wie wil rekenen: het punt 0 van de functie f(x) = x*(1-x) heeft die eigenschap.

Voor wie weet wat de grafiek van een functie is, het volgende.

Een dekpunt is een punt waarvoor geldt dat f(x) = x; het ligt dus op de lijn x=y. En als f(x) = x, dan geldt ook dat x − f(x) = 0.

Voor wie iets weet van differentiën en integreren, het volgende.

Dekpunten zijn derhalve de nulpunten van x − f(x). Nu komen bij „gladde” functies pieken en dalen overeen met nulpunten van de afgeleide, en omgekeerd nulpunten met pieken, dalen en richels van de integraal. Het landschap van een functie f(x) kan daarom met de grafiek van ∫x-f(x).dx zichtbaar gemaakt worden.