Modale logicaꜛ

Modale logica is de logica die zich bezig houdt met mogelijkheidꜛ en noodzakelijkheidꜛ. Een bekende interpretatie is in termen van werelden. Als we ons alle bestaande of niet bestaande, maar innerlijk niet tegenstrijdige werelden voorstellen, is iets mogelijk als het in minstens één van die werelden waar is, en noodzakelijk als het in alle werelden waar is.

Modale logica is een uitbreiding op de predikatenlogica.

◊Bꜛ

De bewering B is mogelijk waar.

□Bꜛ

De bewering B is noodzakelijk waar.

Exact dezelfde axiomata gelden voor deontische logicaꜛ, met de volgende betekenissen.

◊B

B is toegestaanꜛ.

□B

B is verplichtꜛ.

Weer geldt De Morgan: ◊B = ¬□¬B en □B = ¬◊¬B.

Modale logica vormt de basis voor epistemische logicaꜛ, de logica van vermoeden en weten. Hierbij geldt

◊ᵢBꜛ

Persoon i vermoedt dat B waar is, dat wil zeggen: weet niet dat B onwaar is.

□ᵢBꜛ

Persoon i weet dat B waar is.

Epistemische logica is echter rijker dan de modale logica. Dit blijkt al uit de „i” — ze kan spreken over verschillende personen met verschillende overtuigingen. Daarnaast kent ze kennisregels, zoals de regel dat wat iemand weet ook waar is (anders zou het immers geen kennis zijn). Een andere veelgebruikte regel zegt dat als iemand iets weet, hij ook weet dat hij dat weet. Daaruit volgt dat iedereen die iets weet, oneindig veel zaken weet — maar dat valt op te lossen door „weten” iets ruimer te nemen, als „zich kunnen realiseren”: als ik weet dat Jan rood haar heeft kan ik mij realiseren dat ik weet dat ik weet dat ik weet dat Jan rood haar heeft, en zo voort. Meer omstreden is de omgekeerde regel A5ꜛ of S5ꜛ, die stelt dat als iemand iets niet weet, hij weet dat hij dat niet weet.

Wetenschap wordt ook vaak met K aangegeven, zodat geredeneerd kan worden over ◊K(p): „p wordt mogelijk geweten” of □K(p): „p wordt noodzakelijk, zeker geweten”.

Epistemische logica kan vervolgens nog eens uitgebreid worden met regels omtrent geloven — overtuigd zijn van zaken die mogelijk onwaar zijn.

De combinatie van epistemische en modale logica leidt tot de wetenschaps­paradoxꜛ: als alles wat waar is geweten kan worden, dan wordt ook feitelijk alles wat waar is geweten. Alonzo Churchꜛ gaf het bewijs hiervoor als anonieme referent in een artikel van Frederic Brenton Fitchꜛ (A Definition of Valueꜛ, 1945).

∀ₚ: (p → ◊Kp) ⇒ ∀ₚ: (p → Kp) — waarin Kp „p wordt geweten” betekent.

Deze stelling geldt voor alle K die aan factiviteitꜛ (Kp → p) en conjunctie­distributiviteitꜛ (K(p∧q) → Kp∧Kq) voldoen — en geldt dus heel algemeen — veel algemener dan enkel voor epistemische logica.

((Te doen.))

Modale logica onderscheidt zich van de andere logica's door de regel □A → A, oftewel: wat noodzakelijk waar is is waar. In deontische logica geldt dit niet: wat verplicht is is nog niet waar.

Temporele logicaꜛ

□ betekent „altijd”.

◊ betekent „ooit”.

Bewijsbaarheids­logicaꜛ

□ betekent „bewijsbaar”.

◊ betekent „onweerlegbaar”.