Het ontologisch godsbewijs van Leibniz

((Te doen: de verschillende bewijzen hun eigen paginae geven. Leiniz had er verschillende, en ook vanuit Gödels versie zijn er weer verschillende ontwikkeld.))

Geïnspireerd door de aanpak van Anselmus hebben anderen vervolgens gepoogd werkelijk het noodzakelijk bestaan van God uit de aard van goddelijkheid af te leiden. Één van hen was Gottfried Wilhelm Leibniz, die inzag dat een correct bewijs de mogelijkheid van zo'n volmaakt wezen moest aantonen. Daar hij nog niet Gödels inzicht had dat axiomatisering noodzakelijk onvolledig is ging hij ervan uit dat predicaten compossibel waren als geen conflict tussen hen te bewijzen viel.

Één van Leibniz' bewijzen is geformaliseerd door Kurt Friedrich Gödel, en vervolgens bijgeslepen door C.Anthony Anderson.

Het bewijs begint met het definiëren van een positieve eigenschap, aangegeven met de hoofdletter P. Daar wordt niet veel over gezegd, enkel het volgende:

Regel 1: [P(φ)∧□∀x[φ(x)→ψ(x)]] → P(ψ)
Als φ een positieve eigenschap is, en in alle werelden omvat φ de eigenschap ψ, dan is ψ ook een positieve eigenschap. Stel dat φ staat voor „Geeft mensen al wat ze nodig hebben”, en ψ „geeft voedsel aan de hongerigen”, en φ is positief, dan is noodzakelijkerwijs ψ ook positief.
Let op: andersom geldt niet! Ook al is voedsel geven aan de hongerigen positief, hongerigen voedsel geven en hen vervolgens doodmartelen hoeft dat nog niet te zijn.
Regel 2: P(¬φ) ↔ ¬P(φ)
Als een eigenschap positief is, is het omgekeerde ervan dat niet. [Noot: er is een versie van het bewijs met de zwakkere en realistischere claim P(φ) → ¬P(¬φ).]
Regel 3: P(φ) → □P(φ)
Wil een eigenschap positief zijn, dan moet ze dat in alle werelden zijn. Sambal geven aan hongerigen is misschien goed in een wereld waarin alleen samballiefhebbers bestaan, maar op zich is het nog niet positief, want in andere werelden — met zuigelingen bijvoorbeeld — is het niet goed.

Hieruit volgt al meteen een belangrijk feit over positieve eigenschappen.

P(φ) → ◊∃x[φ(x)]
Een positieve eigenschap is mogelijk, dat wil zeggen: voor iedere positieve eigenschap φ is er een wereld waarin een zaak x bestaat die die eigenschap heeft. Immers, (1) de eigenschap die altijd geldt is positief volgens de eerste regel, want zij is ruimer dan welke andere eigenschap ook — bijvoorbeeld φ; (2) De ontkenning daarvan, dus de eigenschap die nooit geldt, is niet positief volgens de tweede regel, en dus (3) een positieve eigenschap φ is niet gelijk aan de eigenschap die nooit geldt.

Op zich is nog helemaal niet duidelijk dat P nou juist positieve eigenschappen vastlegt. Er zijn verzamelingen negatieve eigenschappen die ook aan de regels van P voldoen. Om nu de verzameling van positieve eigenschappen iets nauwkeuriger te omschrijven worden twee eigenschappen gedefinieerd die in ieder geval positief moeten zijn. Die eigenschappen noemen we „goddelijkheid”, G, en „noodzakelijkheid”, N. Goddelijkheid wordt vrij rechttoe-rechtaan gedefinieerd.

G(x) ↔ ∀φ[P(φ)→φ(x)]
Iets is goddelijk als het alle positieve eigenschappen heeft: als φ positief is, dan moet φ(x) gelden.
[Merk op dat onder de sterke versie van regel 2 iets goddelijks geen enkele eigenschap heeft die niet positief is, want het heeft de omgekeerde eigenschap al, die immers wel positief is.]
P(G)
We stellen dat G een positieve eigenschap is — het hebben van alle positieve eigenschappen is zelf ook iets positiefs.

Maar het hierboven vermelde belangrijke feit geldt dan ook voor G.

◊∃x[G(x)]
Iets goddelijks is mogelijk, dat wil zeggen: er is een mogelijke wereld waarin zich iets bevindt dat alle positieve eigenschappen in zich verenigt.

Om de andere eigenschap, noodzakelijkheid, te definiëren moeten we even een kleine omweg maken via het begrip essentie (∝). Dit is nodig om te kunnen praten over „dezelfde” zaak in verschillende werelden. Zaken bestaan namelijk slechts in één wereld; alleen eigenschappen blijven gelijk tussen de ene wereld en de andere. De essentie is dan een eigenschap die een zaak precies beschrijft.

φ∝x ↔ [φ(x) ∧ ∀ψ[ψ(x)→□∀y[φ(y)→ψ(y)]]]
De eigenschap φ vangt de essentie van x, als x die eigenschap φ heeft, en verder voor iedere (andere) eigenschap ψ geldt dat als x die eigenschap heeft, dat ψ dan noodzakelijk uit φ volgt. Dat laatste wordt als volgt vastgelegd: voor iedere y in iedere wereld kan y alleen maar ψ hebben als het ook φ heeft.
N(x) ↔ ∀φ[φ∝x → □∃y[φ(y)]]
Een zaak x heet dan noodzakelijk als er in alle werelden een y bestaat die voldoet aan de essentie van x. Omdat we in de logica niet kunnen praten over „de eigenschap”, is dit laatste wat omslachtig weergegeven als: voor iedere essentie van x bestaat er in alle werelden een zaak y die daaraan voldoet.
P(E)
We stellen dat noodzakelijkheid, het noodzakelijk bestaan, een positieve eigenschap is.

Nu kunnen we onze laatste conclusies omtrent goddelijkheid trekken. ((Vanaf hier controleren — ik word te moe om goed te denken.))

G(x) → G∝x
Van iets goddelijks vangt „goddelijkheid” de essentie. Immers, Als x goddelijk is heeft het enkel positieve eigenschappen [onder de sterke versie van regel 2], en alle positieve eigenschappen. G voldoet dus aan de definitie van de essentie van x, want G(x) is waar bij aanname, en het tweede deel volgens regel 1.
□∃x[G(x)]
In alle werelden bestaat iets goddelijks, dat wil zeggen: het bestaan van iets goddelijks is noodzakelijk. We hadden al gezien dat er een wereld is waarin iets goddelijks x bestaat. Daar N positief is, geldt N(x), en de rest is gewoon G invullen op de plaats van φ in de definitie van N.

In gewoon Nederlands: God bestaat noodzakelijkerwijze.

((Het volgende zou naar een eigen pagina moeten.))

Bespreking

Een eigenschap is positief als God, indien bestaand, die zou hebben. Een kracht van deze benadering is dat alle in onze betekenis essentieel positieve eigenschappen waarschijnlijk verenigbaar zijn (anders zou het simpele feit dat het eigenschap B uitsluit al tegen een kandidaat A gelden), terwijl alle essentieel negatieve eigenschappen waarschijnlijk op vele punten strijden. Daarmee is dit bewijs niet triviaal parodieerbaar.