# Onverklaarbaarheidꜛ

Als verklaren bestaat in het korter beschrijven, zijn zaken onverklaarbaar als ze niet korter te beschrijven zijn. Dat komt ook overeen met de intuïtie: als mieren netjes in een colonne lopen, en we hun bewegingen daarom kort kunnen opschrijven (zo- en zover gevorderd langs het mierenpaadje) voelen we dat we enige grip hebben op wat daar gebeurt. Als ze daarentegen allemaal kris-kras dooreen kopen zonder dat we daarin enige regelmaat kunnen bespeuren, begrijpen we niets van wat ze doen.

Nu kunnen we soms bewijzen dat er van bepaalde zaken geen verklaring mogelijk is, dat we nooit grip zullen krijgen op wat er speelt. Dergelijke zaken zijn dan bewijsbaar onverklaarbaar. Hier zullen we eerst laten zien hoe zo'n bewijs werkt, en daarna enige voorbeelden van onverklaarbare zaken geven.

Eigenlijk werken al deze bewijzen op dezelfde manier: ze laten zien dat iets te weinig „informatieruimte” heeft om alle benodigde informatie te kunnen bevatten. Als iemand mij vertelt dat in Mali, met tien miljoen inwoners, iedereen een eigen telefoon met een uniek vijfcijferig nummer heeft weet ik dat dat niet kan kloppen, want 10 log 10.000.000 = 7, dus op iedereen een eigen nummer te geven moeten die nummers minstens zeven cijfers lang zijn. Een paar nummers kunnen wel korter zijn, maar niet allemaal.

((Uitwerken: De eindigheid van de lichtsnelheid verklaart dat sommige dingen niet in eindige tijd berekenbaar zijn; de onvoorspelbaarheid van dit niet-stoppen van sommige berekeningen verklaart dat er geen predicaat MinimumGrootte bestaat, en het niet-bestaan van dit predikaat verklaart de Kurt Friedrich Gödelseꜛ onvolledigheid.

Geen enkel voldoende rijk axiomastelsel voldoet, en dit treft ook „gewone” wiskundige stellingen — zo is Goodsteinsꜛ stelling niet bewijsbaar in de rekenkunde van Giuseppe Peanoꜛ.

Alfred Tarskisꜛ ondefinieerbaarheidsstellingꜛ: de metataal die de semantiek van een voldoend rijke objecttaal (namelijk met negatieꜛ en voldoend aan het diagonaallemmaꜛ) beschrijft moet altijd rijker zijn dan die objecttaal. De semantiek van de rijkste talen in de wereld ligt voorbij de limiet

Stelling en bewijs zijn elementair, en kunnen hier gegeven worden na deformalisatie:

Neem een willekeurige taal L die ontkenning bevat en rijk genoeg is om interpretatie toe te laten — d.w.z．∃I: ∀A: I(‘A’) ↔ A.

Let (L,N) be any interpreted formal language which includes negation and has a Gödel numbering g(x) such that for every L-formula A(x) there is a formula B such that B ↔ A(g(B)) holds. Let T be the set of Gödel numbers of L-sentences true in N. Then there is no L-formula True(n) which defines T. That is, there is no L-formula True(n) such that for every L-formula A, True(g(A)) ↔ A holds.

Proof: Suppose that an L-formula True(n) defines T. In particular, if A is a sentence of arithmetic then True(g(A)) holds in N if and only if A is true in N. Hence for all A, the Tarski T-sentence True(g(A)) ↔ A is true in N. But the diagonal lemma yields a counterexample to this equivalence, by giving a “Liar” sentence S such that S ↔ ¬True(g(S)) holds. Thus no L-formula True(n) can define T. QED.))