# De logicaꜛ

Het bewijs gebruikt het controversiële systeem S5 ꜛ, dat onder meer de volgende axiomata kent.

Mꜛ: □A → A
  Als A noodzakelijk waar is, dan is A waar.
A5ꜛ: ◊A → □◊A
  als A mogelijk is, dan is het noodzakelijk dat A mogelijk is.

Samen betekenen deze axiomata dat iedere reeks van „noodzakelijk” en „mogelijk” equivalent is aan zijn laatste element. In een semantiek van mogelijke werelden is dit axioma correct, want „noodzakelijk” doet een uitspraak over alle werelden, en „mogelijk” over het bestaan van een wereld. Welnu, als een wereld met een bepaalde eigenschap bestaat, is het in alle werelden waar dat zo'n wereld bestaat.

Het probleem is echter dat bereikbaarheid verschillend kan zijn vanuit verschillende werelden. Als het (wellicht ternauwernood) mogelijk is dat een heelal een schepper vergt, volgt daaruit dan dat een schepper bestaat? Volgens S5 wel, want als het mogelijk is dat een schepper noodzakelijk is (◊□S) dan stelt A5 dat een schepper noodzakelijk is (□S), en daarna stelt M dat een schepper bestaat (S).

Bij speculatieve mogelijkheden zijn de verzamelingen werelden van belang: alle werelden waarin p waar is. Het tralie van deze verzamelingen definieert de (niet-reflexieve) bereikbaarheidsrelatie: als een noodzakelijke schepper mogelijk is, is er een niet-lege verzameling werelden waarin zo'n schepper bestaat, en vanuit die verzameling zijn alle deelverzamelingen te bereiken. Door meer zaken aan te nemen kan men „inzoomen” op de juiste wereld.

Op welke wijze moet een wezen noodzakelijk zijn, wil terecht volgen dat het bestaat als het mogelijk bestaat? Die vraag dient beantwoord te worden voordat dit bewijs kracht kan hebben. Plantinga maakt die noodzakelijkheid intrinsiek, een eigenschap die volgt uit de aard van het wezen, maar het is niet evident dat dat voldoende is.

Het probleem is erger: welke aard die noodzakelijkheid ook heeft, het is de mogelijkheid waarvan de bereikbaarheidsrelatie telt, en die mogelijkheid is in dit bewijs de speculatieve. Een andere vorm van noodzakelijkheid aannemen leidt slechts tot een hybride systeem, net zoals een zin als „Het is mogelijk verboden hier te roken” dat doet.