# Een complete theorie

Op dezelfde manier kunnen we zien dat onze logische en wiskundige theorieꜛ nooit compleet kan zijn. Daartoe moeten we eerst weten wat een theorie is, maar dat is niet zo moeilijk: een theorie is een programma „Bewijst” dat zegt of iets een correct bewijs van een bepaalde bewering is. Dus als ik een verondersteld bewijs „MijnBewijs” van een bewering „MijnBewering” heb, kan ik de volgende programmaregel uitvoeren.

  Bewijst MijnBewijs MijnBewering

Dat levert dan hetzij „ja”, hetzij „neen” op, afhankelijk van of MijnBewijs inderdaad een correct bewijs van MijnBewering is. In de exacte wetenschappen is het probleem het verzinnen van het bewijs, niet zozeer het controleren ervan: dat doet de theorie.

Nu zijn er simpele theorietjes (zoals de theorie die altijd „ja”, of juist altijd „neen” zegt) die compleet zijn, maar we willen hier kijken naar een serieuze theorie, waarin bijvoorbeeld gezegd kan worden „X is een samenvatting van A”.

((Voltooien. De idee is als volgt.))

Met VatSamen kunnen we IsOncomprimeerbaar vormen (alle programma's kleiner dan A vatten A niet samen).

Nu kunnen we, analoog aan „de kortste samenvatting”, op zoek gaan naar een oncomprimeerbare A die langer is dan ons programma — maar ons programma is een samenvatting van die A, dus tegenspraak.

Dit is de stelling van Gödelꜛ. Kurt Friedrich Gödelꜛ gaf een moeilijk bewijs, dat overeenkwam met de paradox „Deze bewering is onbewijsbaar” — als daar een bewijs voor is is de zin onwaar, en bestaat er dus een bewijs voor iets dat niet waar is; als er geen bewijs voor is is de zin waar, en is er dus iets dat waar is maar niet te bewijzen valt. De eed die Amerikaanse rechters laten zweren, „to speak the truth, the whole truth, and nothing but the truth” is dus onhoudbaar: niemand kan tegelijk de hele waarheid en niets dan de waarheid zeggen, tenzij het onderwerp extreem eenvoudig is.

((Te doen: uit de stelling van Gödel volgt dat ieder voldoend complex apparaat te hacken is — veiligheid bestaat slechts als de interface zwak genoeg is.))