# De lege verzamelingꜛ

De lege verzameling is de basis van de abstracte verzamelingenleer. De concrete verzamelingenleer gaat over verzamelingen van mensen, auto's, gedachten, en noem maar op, maar de abstracte verzamelingenleer kent enkel verzamelingen van verzamelingen, en begint bij de lege verzameling, die geen elementen bevat. Verzamelingen kunnen worden geschreven door een opsomming van hun elementen, met accoladesꜛ er om heen: De verzameling {Jan, Piet, Klaas} bevat drie jongens. De lege verzameling wordt dan als {} geschreven.

Er is een manier, „met”, om nieuwe verzamelingen te maken. De procedure „met” neemt een bestaande verzameling plus een element, en levert dan een verzameling op die precies alle elementen van de oude bevat, en het gegeven element, maar geen ander.

{} met Jan
  Dit levert {Jan} op. De oude verzameling was leeg, en de nieuwe bevat dus precies Jan.
{Jan} met Jan
  Dit levert ook {Jan} op.
{Piet} met Jan
  Dit levert {Jan, Piet} op. Je kunt ook {Piet, Jan} schrijven, want volgorde doet er niet toe bij verzamelingen.

De lege verzameling bevat niets, maar is niet niets, in tegendeel. Zonder de lege verzameling als startpunt hadden we die andere verzamelingen niet kunnen bouwen. De klacht „Ik mis de lege verzameling, en die heb ik nodig” is begrijpelijk, maar „Ik mis niets, en dat heb ik nodig” niet. De lege verzameling heeft eigenschappen die haar geschikt maken om links van „met” te worden gebruikt. „Jan met Piet” is niet zinvol als Jan geen verzameling is, want wat betekent „alle elementen van Jan” in dat geval?

Vanuit de lege verzameling kan de gehele getallentheorieꜛ worden opgebouwd. De lege verzameling zelf staat dan voor het getal nul, en „x met x” voor „x+1”.

{} met {}
  {{}} — het getal 1 is de verzameling die enkel het getal 0, de lege verzameling, bevat.
{{}} met {{}}
  {{}, {{}}} — het getal 2 is de verzameling die 0 en 1 bevat.
{{}, {{}}} met {{}, {{}}}
  {{}, {{}}, {{}, {{}}}} — het getal 3 is de verzameling die 0, 1 en 2 bevat.
‥en zo voort.

Een getal is groter dan het andere als het dat andere als element bevat. Dit levert de natuurlijke getallen op. Voor de verdere ontwikkeling verwijs ik naar een vriendelijke wiskundeleraar.