# Behoudswettenꜛ

De behoudswettechniek om irreducibiliteit te bewijzen gaat uit van het feit dat de verschillende toestanden vaak in groepen kunnen worden gedeeld op grond van een bepaalde eigenschapꜛ.

Stel, we hebben een dambord en een groot aantal dominostenen die ieder precies twee hokjes van het dambord bedekken. Is het mogelijk het gehele dambord met dominostenen te bedekken? Ja, en dat is zelfs heel gemakkelijk. Nu zagen we het linkerbovenhokje weg — is het nu nog mogelijk het overgebleven bord precies te bedekken? En als we ook het rechteronderhokje nog verwijderen?

Is het mogelijk met drie lege kannen, met inhouden van respectievelijk precies 6, 9 en 24 liter, een hoeveelheid van 5 liter water af te meten? Toegestane operaties zijn het helemaal (aan)vullen van een kan aan de kraan, het helemaal legen van een kan in de afvoer, en het overschenken van één kan in de andere totdat hetzij de ene kan leeg, hetzij de andere kan vol is.

Als de verschillende toestanden gegroepeerd kunnen worden naar eigenschap, en er enkel paden bestaan tussen toestanden met dezelfde eigenschap, dan is het duidelijk dat er geen pad is tussen toestanden die niet dezelfde eigenschap hebben. Zo zien wij direct dat er in het lettervervangpuzzeltje geen pad is van „lente” naar „herfst”, omdat die twee woorden niet hetzelfde aantal letters hebben, terwijl het vervangen van één letter het totaal aantal letters gelijk laat.

Een eigenschap heet erfelijk als voor alle toestanden met die eigenschap, alle uit die toestand bereikbare eigenschappen die toestand ook hebben. Het aantal letters is in vervangpuzzles een erfelijke eigenschapꜛ‥

Kan iemand die in een immens doolhof zonder uitgang rondwandelt ooit ontsnappen? Neen, want de eindtoestand (ontsnapt zijn) heeft de eigenschap buiten het doolhof te liggen, en hij zit in het doolhof, en iedere stap houdt hem in het doolhof.

Bij het dambord-minus-één-hokje is het even of oneven zijn van het aantal zichtbare hokjes zo'n erfelijke eigenschap: het aantal is in het begin oneven, en doordat iedere dominosteen twee hokjes bedekt blijft het aantal even. Daardoor kunnen we nooit in de toestand van alles bedekt komen, want dat betekent 0 hokjes — een even aantal — zichtbaar.

Bij het dambord-minus-twee-hokjes helpt deze eigenschap ons niet meer, want de begin- en eindtoestand zijn beide even. Maar een andere eigenschap kan ons redden: het overschot aan witte hokjes. Laten we even aannemen dat het linkerbovenhokje (en dus ook het rechteronderhokje) zwart was, dan is het aantal zichtbare witte hokjes op het gemutileerde bord twee meer dan het aantal zwarte hokjes. Doordat iedere dominosteen precies één wit en één zwart hokje bedekt, blijft dit overschot constant, en dus is de eindtoestand (met een overschot van 0) niet bereikbaar.

Het probleem met de kannen kan worden opgelost door de rest na deling door drie als eigenschap te nemen. In de begintoestand bevatten alle kannen 0 (een drievoud) liter, en bij alle handelingen blijft iedere kan een drievoud bevatten. Dat maakt de eindtoestand, een drievoud-plus-twee, onbereikbaar.

Soms is het zinvol de eigenschap te definiëren met de begrippen „hooguit” of „minstens”. Op die manier ontstaat een verbruikswetꜛ. Stel, ik heb € 1000,-, en de mogelijkheid van alles te kopen. Kan ik in bezit komen van een bankstel van € 2000,-? Neen, want alle stappen die ik kan doen verminderen mijn geldhoeveelheid, terwijl de enige stap die tot de eindtoestand leidt een grotere geldvoorraad vereist dan ik aan het begin heb.

((Toevoegen: twee-persoonsspelenꜛ met herstelbare eigenschappenꜛ, zoals in 1-2-3-nimꜛ.))

Op het afdruiprek staan negen borden, alle met de holle kant naar links. Ze behoren echter andersom, met de holle kant naar rechts. Kan men dit bereiken door steeds vier (willekeurige) borden uit het rek tegelijk om te draaien?