# Dekpunten van hogere ordeꜛ

Niet iedere regressierij heeft een eindige of oneindige limiet: er zijn ook rijen die wel binnen een bepaald gebied blijven, maar zonder tot één punt te naderen. De afbeelding „eega van” levert hier (in een monogame wereld) een duidelijk voorbeeld van: de rij blijft heen en weer springen tussen beide echtgenoten. Een punt op een draaitafel die steeds een kwart slag gedraaid wordt is na vier stappen terug op zijn uitgangspunt. Dat zijn eenvoudige voorbeelden.

Dergelijke heen-en-weerpunten zijn ook dekpunten: niet van de originele afbeelding, maar van de tweede- of vierde-orde afbeelding. Zo is „eega van de eega van” de tweede-orde afbeelding van „eega van”, en is de eega van de eega van een persoon natuurlijk die persoon zelf. Evenzo is bij de draaitafel het punt een kwart slag na het punt een kwart slag na het punt een kwart slag na het punt een kwart slag na het startpunt het startpunt zelf: een dekpunt van de vierde orde.

Er zijn ook combinaties van rondspringen en naar de bodem van het dal rollen. Lasers werken op die manier: en licht kaatst heen en weer tussen twee spiegels, en kruipt daarbij steeds meer naar het centrum van die spiegels toe. In eerste instantie springt het licht wild heen en weer, maar doordat lichtgolven graag samen optrekken raken ze steeds meer in het gelid, totdat ze nagenoeg perfect gelijkoplopen. Dan kunnen ze door een gaatje in het midden van één van de spiegels ontsnappen: de laserstraal.

Hier zien we dus beide effecten tezamen optreden: het rondspringen van de ene spiegel naar de andere, en tegelijk op beide spiegels naar het centrum, het dal, toe kruipen.

In de natuur zien we dit verschijnsel optreden op talloze plaatsen waar twee invloeden tegen elkaar inwerken. Neem insectenꜛ met een éénjarige cyclus: in de lente komen ze uit hun pop, in de zomer leggen ze eieren, en in de herfst verpoppen de uit die eieren gekomen larven zich (dit doet er voor het verschijnsel helemaal niet toe, maar maakt de wiskundige uitleg elders gemakkelijker). Het aantal insecten dit jaar hangt af van het aantal vorig jaar, op twee manieren: meer insecten betekent meer eieren, maar te veel insecten betekent ook meer voedselconcurrentie, en daardoor minder poppen. Wat zien we dan? Dat hangt af van de vruchtbaarheidsgraadꜛ van de insecten.

Als de insecten niet al te vruchtbaar zijn, zoekt de populatie eenvoudigweg het dekpunt: als er weinig insecten zijn komen er volgend jaar meer, en als er veel zijn minder, net zolang totdat de optimale populatiegrootte is bereikt.

Als de insecten zich wat enthousiaster voortplanten, gaat de populatie schommelen tussen te groot en te klein, en werkt zich langzaam naar een stabiel twee-jaarsritme toe: de tweede-orde-afbeelding heeft twee dalen als dekpunten. Het aantal insecten na twee jaar zoekt een dal op.

Als de insecten nog wat harder prolifereren gebeurt er iets vreemds: de populatie gaat schommelen tussen vier waarden, en bij nog iets grotere vruchtbaarheid acht, zestien, en zo voort. De toename in vruchtbaarheid om zo'n verdubbeling teweeg te brengen is steeds kleiner, en op een gegeven moment fluctueert de populatie tussen een oneindig aantal waarden. Dit is wat wiskundigen chaos noemen. Dat is echter heel wat anders dan de wanorde die we in het dagelijks leven onder dat woord verstaan!

Ten eerste is het universeel: exact hetzelfde verschijnsel treedt in de meest uiteenlopende omstandigheden.

En ten tweede is het een onuitputtelijke bron van orde, variatie, rijkdom en schoonheid.